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ポケモンで同値類を考える 

突然ですがなんか講義的なものを↓

大学数学の中で割と重要な同値関係。特に代数学では剰余群とかで用いられるもので。
多分同値という言葉は高校数学でも聞いたことがあると思うのですが。

空でない集合の任意の2つの要素に対して満たすか満たさないかのどちらかである関係(二項関係)「~」が定まっていて、以下の条件を満たす。
集合の任意の要素をa、b、cとすると
1、a~a
2、a~bならb~a
3、a~bでありさらにb~cであるなら、a~c
このことを同値関係という。

さっぱり分からないでしょ?自分もそもそもこの~って何?って感じでした。
一番分かりやすいのは小学生の頃から使ってる=だと思います。~を=で置き換えてみて、集合を自然数(1、2、3…)や整数とかにしてみると条件を満たしてるというのがわかるんじゃないかなーと。
他には当たり前に使ってる曜日もそうだし、分数(二分の一と四分の二が同じとかいう)考えも同値関係が関わってるんです。
曜日や偶数奇数の考え方なんか特に。

まあそんなことを言ってもピンとこないかもなので…分かりやすくポケモンを例えに。二項関係を二匹のポケモンのタイプが同じ(分かりやすいように同じという記号を=とします。このときの=は普段使ってるものとは違いますが。)、集合をチコリータ、キモリ、ナエトルにします。
ひとつめの条件はチコリータ=チコリータ、キモリ=キモリ、ナエトル=ナエトル(この時の=はタイプが同じという意味です。自分自身はタイプが同じなので当然ですね。)
ふたつめの条件は、チコリータ=ナエトルならば、ナエトル=チコリータ…全て合わせて6通りありますが、タイプが同じポケモン同士ですから、逆に変えても同じですよね。
みっつめはチコリータ=ナエトル、ナエトル=キモリであって、ちゃんとチコリータ=キモリを満たしています。これも全ての要素で満たすことがわかりますよね。
よってチコリータ、キモリナエトルの集合はタイプが同じという二項関係において同値関係であることがわかります。

問題 集合をリザードン、オオスバメ、キリンリキとする。二項関係~をポケモンのタイプが1タイプでも一致する(例、カイリュー~ポッポ(ひこうタイプが一致)、カイリューとメタモンは満たさない)。このときこの関係は同値関係を満たすか?

問題 集合をヒトカゲ、リザード、リザードン。二項関係~を左にいるポケモンが進化すると右のポケモンになる(ピカチュウ~ライチュウ、ピチューはピカチュウを経由してライチュウに進化するから満たす(ピチュー~ライチュウ)とする。しかしアーボックとアーボは満たさない。)。この関係は同値関係を満たすか?

大学の数学(のほんの一部)の内容を一般の方にも分かりやすく噛み砕いてみました。
突然何をいってるんだこいつは…とか言われるかもしれないですが、なんとなく皆さんに自分が勉強してることを伝えたくなったのでw

もうちょっと勉強していくと分かるんですけど、同値関係ってのは集合をグループ分けして分かりやすくするって考えなんです。曜日も日付を7つのグループに分けてるし、偶数と奇数も自然数を2つのグループに分けてる。(厳密に言うと結構ややこしくなるんですが)ポケモンもタイプでわかれてて、相性とかをポケモンごとじゃなくて同じタイプのポケモンごとにひとまとめにして覚えますよね?このような考え方を一般化した考えが、同値関係、同値類なんです。

大学数学ってさらにややこしい計算をやるとかそういうイメージを持ってる方もいるでしょうが(それも間違いではないですが)、それだけじゃなくてもっと訳のわからなくなる論理的な証明も多いんですよねー。この辺はまだ簡単ですけど、授業が進んでくとさっぱりわからなくなったりして…。大学入学当時は高校までの数学との違いにかなり戸惑いました…。

勉強してくと数学の面白い点も見つかるんですが…正直数学嫌いです(苦笑)
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